最爱的人有抑郁倾向，我该怎么帮助她？

其实你已经尝试帮助她了。你看到了（当然也听到她说了）她很累，于是你邀请她玩儿，休息，放松。不过她拒绝了，拒绝的理由是她没有时间。也就说她很累，但她没有时间休息。显然这是一个相互矛盾的状态。矛盾点在于她想要休息，但她觉得她不能休息。你建议她休息，她会告诉你这个家是多么多么需要她，如果她休息了，这个家会怎么怎么不行。其实她内心需要这个家对她的这个需要的部分，胜过了她想要休息的部分。或者说，如果哪一天她在这个家里变得不那么重要了，可能她会更难受。
如果你理解了她的这个部分，你再去看看怎么帮她。一方面你可以表达她为她家付出很多，她很能干，很重要，这个家没了她不行。这样她虽然很累但会得到慰藉。当然你也可以考虑让她成长一把，变得独立一些，不要那么需要感觉自己被需要。不过这样子会有风险，稍有不慎会损伤你们之间的关系。